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Algebra 04 Infinite groups, Linear groups

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Algebraic Theory of Automata and Languag

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2 Normalisatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Der Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Innere Automorphismen und das Zentrum einer Gruppe * . . . . . . . 6 Isomorphiesätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Ist U eine Untergruppe einer Gruppe G, so liefert die Menge der Linksnebenklassen a U eine Partition von G.

1 eine Untergruppe von G. Es gelten: X ⊆ X ≤ G. X ⊆ U für jede Untergruppe U von G, die X enthält. In diesem Sinne ist X die kleinste Untergruppe von G, die X enthält. Man nennt U := X die von X erzeugte Untergruppe und X ein Erzeugendensystem von U . Und G heißt endlich erzeugt bzw. zyklisch, wenn G ein endliches Erzeugendensystem besitzt bzw. von einem Element erzeugt wird. 1 Erzeugendensysteme. Elementordnungen 31 Statt {a1 , . . , an } schreiben wir kürzer a1 , . . , an ; dass eine Gruppe G zyklisch ist, heißt somit: Es gibt ein a ∈ G mit G= a .

12 Zeigen Sie: Sind U und V Untergruppen der Gruppe G mit U ⊆ V , so gilt [G : U ] = [G : V ] · [V : U ]. 1 Normalteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Normalisatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Faktorgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Der Homomorphiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Innere Automorphismen und das Zentrum einer Gruppe * .

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