Posted in Algebra

Categories of Algebraic Systems: Vector and Projective by M. Petrich

By M. Petrich

Show description

Read Online or Download Categories of Algebraic Systems: Vector and Projective Spaces, Semigroups, Rings and Lattices PDF

Best algebra books

Algebraic Theory of Automata and Languag

Even though there are a few books facing algebraic conception of automata, their contents consist normally of Krohn–Rhodes conception and comparable themes. the themes within the current ebook are relatively assorted. for instance, automorphism teams of automata and the partly ordered units of automata are systematically mentioned.

Extra resources for Categories of Algebraic Systems: Vector and Projective Spaces, Semigroups, Rings and Lattices

Example text

Iv) (Abb(A), ◦): idA ist neutrales Element. Zu f ∈ Abb(A) gibt es ein Inverses, wenn f invertierbar ist (Umkehrabbildung). (v) (Abb(A, H), τ ): Hat H ein neutrales Element e, so ist das neutrale Element von Abb(A, H) die konstante Abbildung e : A → H, a → e. (vi) ( I Hi , τ ): Hat jedes Hi ein neutrales Element ei , so ist (ei )i∈I neutrales Element in I Hi . Wie an den Beispielen zu sehen ist, braucht es in Halbgruppen weder neutrale noch inverse Elemente zu geben. 5 Definition Eine Halbgruppe (H, τ ) heißt Gruppe, wenn gilt: (1) Es gibt ein neutrales Element e ∈ H; (2) Zu jedem a ∈ H gibt es ein Inverses.

H. wenn f¨ ur ⇒ alle a, b ∈ A gilt: (a, b) ∈ R und (b, a) ∈ R a = b. (2) R heißt Ordnungsrelation, wenn R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. Man nennt dann A auch eine (durch R) (teilweise) geordnete Menge. Schreibweise: (a, b) ∈ R ⇔ a ≤R b oder auch a ≤ b. ¨ Eine Ordnungsrelation R, die zugleich Aquivalenzrelation ist, kann nur die Identit¨at sein, denn   symmetrisch R = R−1  antisymmetrisch R ∩ R−1 ⊂ ∆A ⇒ ∆A = R.   reflexiv ∆A ⊂ R Bekannte Beispiele von Ordnungsrelationen sind: (1) ≤ auf IN , R = {(x, y) ∈ IN × IN | y − x ∈ IN ∪ {0}}.

N . σ(1) σ(2) . . σ(n) Permutationen, die lediglich ein Paar von Elementen vertauschen und den Rest festlassen, nennt man Transpositionen. F¨ ur jede Transposition τ gilt τ 2 = id. Ein Beispiel daf¨ ur ist etwa τ= 1 2 3 4 , 1 4 3 2 τ2 = 1 2 3 4 1 2 3 4 = id . Transpositionen sind sozusagen die Bausteine der Permutationen, denn: 46 Kapitel 2. 22 Satz Jede Permutation ist als Produkt von Transpositionen darstellbar. Beweis: Es ist klar, daß eine Permutation genau dann die Identit¨at ist, wenn sie n Elemente unver¨andert l¨aßt.

Download PDF sample

Rated 4.81 of 5 – based on 46 votes